Équipement d'une falaise

Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d'escalade. L'équipement doit être réalisé depuis le pied de la falaise. Deux entreprises spécialisées dans ce type de chantier ont été contactées et ont envoyé des devis.

Devis A 
Le premier mètre équipé coûte \(100\) euros puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte \(20\)  euros de plus que le mètre précédent ( \(100\) euros pour équiper une falaise d'un mètre, \(100 + 120 = 220\)  € pour équiper une falaise de deux mètres, \(100 + 120 + 140 = 360\)  pour équiper une falaise de trois mètres, etc).

Devis B
Le premier mètre équipé coûte \(50\)  euros puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte \(5\,\%\) de plus que le mètre précédent ( \(50\) euros pour équiper une falaise d'un mètre, \(50 + 52,50 = 102,50\)  € pour équiper une falaise de deux mètres, \(50 + 52,50 + 55,215 = 157,625\)  € pour équiper une falaise de trois mètres, etc).

On appelle \(u_n\)  le prix de l' \(n\) -ième mètre équipé et \(S_n\)  le prix total pour l'équipement d'une falaise de \(n\)  mètres de hauteur indiqué par l'entreprise A.

On appelle \(v_n\)  le prix d'un \(n\) -ième mètre équipé et \(R_n\)  le prix total pour l'équipement d'une falaise de \(n\)  mètres de hauteur indiqué par l'entreprise B.

1. Exprimer \(u_n\)  et \(S_n\)  en fonction de \(n\) .

2. Exprimer \(v_n\)  et \(R_n\)  en fonction de \(n\) .

3. Calculer le prix à payer pour équiper une falaise de \(92\)  mètres de hauteur avec chacune des deux entreprises. Préciser l'entreprise la moins chère (arrondir les prix à l'euro près).

4. Le conseil municipal a décidé d'accorder un budget de \(120\,000\)  euros pour équiper le site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut être équipée avec cette somme par chacune des deux entreprises A et B (arrondir les hauteurs au mètre près).